2011年8月30日星期二

阮一峰的网络日志

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经济增长是如何换来的？

Posted: 30 Aug 2011 01:48 AM PDT

去年，何毓琦教授推荐了《纽约时报杂志》的一篇长文《中国会变成消费大国吗？》（中译上，下）。

那篇文章非常长，足足有十几页，我一直拖着没看，直到上周末才读完。

它的作者是普利策奖得主David Leonhard，他以自己在中国各地的采访经历，详尽分析了中国经济的现状和走向。看完以后，我一声长叹，为什么想要了解中国，只有去看外国报纸？

（图片说明：中国正在致力于从生产大国转变为消费大国。Credit: Lars Tunbjork for The New York Times）

David Leonhardt认为，经济增长是中国政府压倒一切的政策目标。因为经济增长可以解决就业问题，维持社会稳定，保证政治统治。所以，为了维持经济增长，政府动用了各种手段。

他举了一些例子，我认为非常具有洞察力：

　　（1）很长一段时间内，政府压低煤炭、石油和其他自然资源的价格。这实质上是让中西部省份补贴沿海省份，因为当时沿海省份经济增长最快。

　　（2）压低储蓄利率。这样做减少了居民收益，但是降低了企业的资金成本，为企业提供了便宜的资金，等同于居民补贴企业。

　　（3）压低工资。企业的利润增长速度，远远高于职工的工资增长速度。这保证企业----尤其是那些劳动密集型的出口加工企业（它们对经济增长和就业贡献最大）----获得便宜的劳动力。

　　（4）不允许自行组织工会。由于工人没有统一的组织，这使企业可以方便地解雇工人，同时也有助保持低工资。

　　（5）维持严密的户口制度。这一方面阻止劳动力向工资高的地方迁移、另一方面由于户口与福利制度挂钩，没有户口就享受不到当地的福利，这就降低了政府的福利支出，使得政府有更多的钱用于投资。

　　（6）社会福利严重不足。教育、失业、医疗、住房等支出，全部或大多数要由个人承担，这大大减轻政府和企业的负担。

　　（7）长期低估人民币汇率。低汇率使得出口商品变得更便宜，同时也压低了人民币的购买力，这相当于让外国人买得更多，让本国居民买得更少。实质上，就是本国居民补贴本国的出口企业。

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在这些措施的推动下，中国的出口取得了奇迹般的增长。1978-2008年，中国出口年均增长18%；2001-2008年，更是达到了年均增长25%，每三年翻一倍。出口成了中国经济增长最大的推动力。

但是，这些增长背后的代价是什么？它是用什么换来的？

......我们的政府、媒体、经济学家保持沉默，装作没有看见，甚至否认代价的存在。

好在未来的人们不会忘记这一切。当历史学家回顾我们这个年代，他们首先会看到底层人民忍受的苦难，然后久久地沉思，以此换来的经济增长是否值得。

另一方面，这样的增长模式再也走不下去了。以低劳动力成本为主要优势的出口经济，已经到了穷途末路。中国商品要想继续畅销世界，不能再靠便宜的价格（因为已经不便宜了），而必须依靠更好的产品，依靠创新。但是，一个无法自由地思考、表达、集社的社会，真的会有创新吗？真的会有持续的经济增长吗？

（完）

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2011年8月27日星期六

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贝叶斯推断及其互联网应用（二）

Posted: 27 Aug 2011 01:21 AM PDT

上一次，我介绍了贝叶斯推断的原理，今天讲如何将它用于垃圾邮件过滤。

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贝叶斯推断及其互联网应用

作者：阮一峰

（接上文）

七、什么是贝叶斯过滤器？

垃圾邮件是一种令人头痛的顽症，困扰着所有的互联网用户。

正确识别垃圾邮件的技术难度非常大。传统的垃圾邮件过滤方法，主要有"关键词法"和"校验码法"等。前者的过滤依据是特定的词语；后者则是计算邮件文本的校验码，再与已知的垃圾邮件进行对比。它们的识别效果都不理想，而且很容易规避。

2002年，Paul Graham提出使用"贝叶斯推断"过滤垃圾邮件。他说，这样做的效果，好得不可思议。1000封垃圾邮件可以过滤掉995封，且没有一个误判。

另外，这种过滤器还具有自我学习的功能，会根据新收到的邮件，不断调整。收到的垃圾邮件越多，它的准确率就越高。

八、建立历史资料库

贝叶斯过滤器是一种统计学过滤器，建立在已有的统计结果之上。所以，我们必须预先提供两组已经识别好的邮件，一组是正常邮件，另一组是垃圾邮件。

我们用这两组邮件，对过滤器进行"训练"。这两组邮件的规模越大，训练效果就越好。Paul Graham使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各4000封。

"训练"过程很简单。首先，解析所有邮件，提取每一个词。然后，计算每个词语在正常邮件和垃圾邮件中的出现频率。比如，我们假定"sex"这个词，在4000封垃圾邮件中，有200封包含这个词，那么它的出现频率就是5%；而在4000封正常邮件中，只有2封包含这个词，那么出现频率就是0.05%。（【注释】如果某个词只出现在垃圾邮件中，Paul Graham就假定，它在正常邮件的出现频率是1%，反之亦然。随着邮件数量的增加，计算结果会自动调整。）

有了这个初步的统计结果，过滤器就可以投入使用了。

九、贝叶斯过滤器的使用过程

现在，我们收到了一封新邮件。在未经统计分析之前，我们假定它是垃圾邮件的概率为50%。（【注释】有研究表明，用户收到的电子邮件中，80%是垃圾邮件。但是，这里仍然假定垃圾邮件的"先验概率"为50%。）

我们用S表示垃圾邮件（spam），H表示正常邮件（healthy）。因此，P(S)和P(H)的先验概率，都是50%。

然后，对这封邮件进行解析，发现其中包含了sex这个词，请问这封邮件属于垃圾邮件的概率有多高？

我们用W表示"sex"这个词，那么问题就变成了如何计算P(S|W)的值，即在某个词语（W）已经存在的条件下，垃圾邮件（S）的概率有多大。

根据条件概率公式，马上可以写出

公式中，P(W|S)和P(W|H)的含义是，这个词语在垃圾邮件和正常邮件中，分别出现的概率。这两个值可以从历史资料库中得到，对sex这个词来说，上文假定它们分别等于5%和0.05%。另外，P(S)和P(H)的值，前面说过都等于50%。所以，马上可以计算P(S|W)的值：

因此，这封新邮件是垃圾邮件的概率等于99%。这说明，sex这个词的推断能力很强，将50%的"先验概率"一下子提高到了99%的"后验概率"。

十、联合概率的计算

做完上面一步，请问我们能否得出结论，这封新邮件就是垃圾邮件？

回答是不能。因为一封邮件包含很多词语，一些词语（比如sex）说这是垃圾邮件，另一些说这不是。你怎么知道以哪个词为准？

Paul Graham的做法是，选出这封信中P(S|W)最高的15个词，计算它们的联合概率。（【注释】如果有的词是第一次出现，无法计算P(S|W)，Paul Graham就假定这个值等于0.4。因为垃圾邮件用的往往都是某些固定的词语，所以如果你从来没见过某个词，它多半是一个正常的词。）

所谓联合概率，就是指在多个事件发生的情况下，另一个事件发生概率有多大。比如，已知W1和W2是两个不同的词语，它们都出现在某封电子邮件之中，那么这封邮件是垃圾邮件的概率，就是联合概率。

在已知W1和W2的情况下，无非就是两种结果：垃圾邮件（事件E1）或正常邮件（事件E2）。

其中，W1、W2和垃圾邮件的概率分别如下：

如果假定所有事件都是独立事件（【注释】严格地说，这个假定不成立，但是这里可以忽略），那么就可以计算P(E1)和P(E2)：

又由于在W1和W2已经发生的情况下，垃圾邮件的概率等于下面的式子：

即

将P(S)等于0.5代入，得到

将P(S|W1)记为P1，P(S|W1)记为P2，公式就变成

这就是联合概率的计算公式。

十一、最终的计算公式

将上面的公式扩展到15个词的情况，就得到了最终的概率计算公式：

一封邮件是不是垃圾邮件，就用这个式子进行计算。这时我们还需要一个用于比较的门槛值。Paul Graham的门槛值是0.9，概率大于0.9，表示15个词联合认定，这封邮件有90%以上的可能属于垃圾邮件；概率小于0.9，就表示是正常邮件。

有了这个公式以后，一封正常的信件即使出现sex这个词，也不会被认定为垃圾邮件了。

（完）

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2011年8月25日星期四

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贝叶斯推断及其互联网应用（一）

Posted: 24 Aug 2011 09:09 PM PDT

一年前的这个时候，我正在翻译Paul Graham的《黑客与画家》。

那本书大部分谈的是技术哲学，但是第八章却写了一个非常具体的技术问题----如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件（英文版）？

说实话，我没完全看懂那一章。那时，交稿截止日期已经过了，没时间留给我去啃概率论教科书了。我只好硬着头皮，按照字面意思把它译了出来。虽然交稿了，译文质量也还可以，但是心里很不舒服，下决心一定要搞懂它。

一年过去了，我读了一些概率论文献，逐渐发现贝叶斯推断并没有想象的那么难。相反的，它的原理部分实际上很容易理解，甚至不需要用到高等数学。

下面就是我的学习笔记。需要声明的是，我并不是这方面的专家，数学其实是我的弱项。所以，欢迎大家提出宝贵意见，让我们共同学习和提高。

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贝叶斯推断及其互联网应用

作者：阮一峰

一、什么是贝叶斯推断

贝叶斯推断（Bayesian inference）是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。

它是贝叶斯定理（Bayes' theorem）的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据推断结果不断修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。

贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有等到计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。

二、贝叶斯定理

要理解贝叶斯推断，就必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。

所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。

因此，

同理可得，

所以，

即

这就是条件概率的计算公式。

三、全概率公式

由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。

假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。

上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。

在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。

即

在上一节的推导当中，我们已知

所以，

这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：

四、贝叶斯推断的含义

对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：

我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

所以，条件概率可以理解成下面的式子：

\mbox{Posterior probability} \propto \mbox{Prior probability} \times \mbox{Likelihood}

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。

五、【例子】水果糖问题

为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。

第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。

再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。

根据条件概率公式，得到

已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，

所以，

将数字代入原方程，得到

这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。

六、【例子】假阳性问题

第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密。

已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。

根据条件概率公式，

用全概率公式改写分母，

将数字代入，

我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。

为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高有关。（【习题】如果误报率从5%降为1%，请问病人得病的概率会变成多少？）

有兴趣的朋友，还可以算一下"假阴性"问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己，"假阳性"和"假阴性"，哪一个才是医学检验的主要风险？

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关于贝叶斯推断的原理部分，今天就讲到这里。下一次，将介绍如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件。

（未完待续）

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