2012年9月25日星期二

阮一峰的网络日志

阮一峰的网络日志

虚数的意义

Posted: 24 Sep 2012 08:49 AM PDT

有人在Stack Exchange问了一个问题：

　　"我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。

　　中学老师说，虚数就是-1的平方根。

　　

　　可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！

　　直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？

　　它有什么用？"

帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！

下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。

一、什么是虚数？

首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：

　　(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

　　(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i ：

　　i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

二、复数的定义

既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

三、虚数的作用：加法

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用：乘法

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。

如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

　　( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

　　( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

　　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

　　c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于

　　r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式，得到

　　cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

　　cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

　　( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

（完）

文档信息
发帖者 时间：

2012年9月15日星期六

阮一峰的网络日志

阮一峰的网络日志

台湾四极

Posted: 14 Sep 2012 03:50 PM PDT

1.

从台湾回来，已经一个多月了。那段日子，时常浮现眼前。

2.

台湾是一个美丽的岛屿，高山大海，风景壮丽。如果你有时间，我建议开车或骑摩托车"环岛游"。（骑自行车？别开玩笑了......）

3.

我没有时间"环岛"，就定下了另外一个目标----台湾的四个地理极点！

4.

台湾本岛的最北端"富贵角"，最东端"三貂角"，最南端"鹅銮鼻"，最西端"顶额沙洲"。我暗下决心，要把它们走遍。

5.

最北端"富贵角"，离台北最近，我就先去那里。

6.

我从台北搭客运，沿阳金公路（该公路穿越阳明山，沿途景色优美）北上，到达金山镇，在金山区公所下车。

7.

然后，在区公所对面，搭乘开往淡水的客运，在"灯台口"下车。

8.

往里走，就是富贵角了，会先经过一个渔港。

9.

沿土路走到底，就会看到"富贵角灯塔"的指示牌了。

10.

沿着平缓的上坡道，走10分钟，在一个拐弯之后，灯塔就出现了。

11.

富贵角灯塔。

12.

照相的情侣。

13.

灯塔的前面是临海的悬崖，另一侧则是观海的平台。

14.

悬崖下方是一片乱石滩。

15.

眼前的这一片海滩，就是台湾的最北端了。

16.

离开之前，再看一眼灯塔。

17.

去过最北端之后，接下来是最东端"三貂角"。

18.

我搭乘台铁，从台北东行，在福隆站下车。

19.

福隆海水浴场，是北台湾最好的海水浴场。三貂角距离这里，大概还有七公里。

20.

我在火车站前面，租了一辆自行车（租车费新台币100元），沿着专用自行车道"旧草岭隧道"，向三貂角进发了。

21.

到达海岬最东点的时候，会有指示牌提示"三貂角灯塔"。

22.

灯塔建在山上，山路陡峭，自行车骑不上去，步行爬山大约需要20~30分钟。

23.

爬到山顶，豁然开朗。这里不仅有灯塔，还有许多西式建筑。

24.

西班牙人最先发现这里，所以建筑都是仿西班牙式。

25.

钟楼。

26.

海誓山盟，永结同心。

27.

三貂角灯塔。

28.

钟楼和灯塔。

29.

灯塔的前面，有一条下坡道，通往海边。

30.

面对大海，有一块指示牌，告诉你这里是台湾最东端。

31.

此时大雨滂沱，太平洋上水雾朦胧。

32.

海里的那些礁石，就是台湾的最东端了。

33.

赶在天色将暗之前，我冒雨骑回福隆，浑身湿透。

34.

下一个目标，就是台湾最南端"鹅銮鼻"。

35.

我在高雄火车站旁边，搭乘高雄客运的88快线。

36.

在最后一站"鹅銮鼻"下车，路上大概要2个半小时。

37.

车就停在"鹅銮鼻公园"的门口，但是，台湾最南端不在这个公园里面。

38.

走向停车场的深处，就会看到一块"最南端"的指路牌。

39.

沿着小路向深处走，大约要走上20~30分钟。

40.

路的尽头，出现了一个水泥建筑物。

41.

平台上挤满了大陆游客。

42.

"台湾最南点"的说明牌。

43.

最南端的大海。

44.

近一点看大海。

45.

这里的海滩都是珊瑚礁，完全不适合行走。

46.

回来的路上，我还顺道去了"国立海洋生物馆"，流连忘返。

47.

现在，只剩下台湾最西端"顶额沙洲"了。

48.

我在台南火车站前，搭乘99路"台江线"。（顺便说一句，台南是一个非常有魅力的城市，也许是台湾最宜居的地方，我很喜欢。）

49.

这条线路有一个特别之处，就是允许携带自行车。（这辆自行车破了一点，但是别人免费借给我，我也不能要求更多了。）

50.

每年10月至次年2月，为了观赏候鸟，99路会一直开到海边。但是，我是7月份去台南，所以终点站是一个叫"大众庙"的地方。

51.

这里距离台湾最西端大概有20多公里（也就是说，那一天我来回骑行了40多公里，这差不多是我的运动极限了）。这时，你需要一张详细的台南地图或GPS，帮助你从大众庙骑到台17线公路上。

52.

我从169公里处，进入台17线，然后向北骑行。

53.

大约在162公里处，有一座国姓桥，跨过曾文溪。

54.

过了国姓桥以后，立刻向东转，进入173县道。然后，一路上都会看到"黑琵保护区"的指示牌，沿着它骑。

55.

大约三四公里之后，就到了"黑面琵鹭保育管理及研究中心"。

56.

继续往前骑，一公里之后，有一个"观鸟亭"。

57.

亭子前一个很有意思的路牌。

58.

观鸟亭里空无一人。黑面琵鹭每月10月至次年2月，从东北亚飞到这里过冬。在此期间，99路的终点站就在这里。

59.

这里距离台湾最西端，大约还有四公里。继续往前骑，一会儿功夫，就到了七股乡的海堤。

60.

远远地就听到轰鸣声，走进树林才发现，离海原来如此之近。

61.

沿着海堤，由东转向北骑行。

62.

不久，就会看到指示牌，上面写着"国圣灯塔 3KM"，那里就是台湾最西端。

63.

这时，海边下起了倾盆大雨。我只能停车，在路边避雨。倒霉的事件发生了，我的照相机这时掉进了水里，无法继续使用了。所以，这就是我当天的最后一张照片。

64.

国圣灯塔只能转贴别人的照片了。记得那天在灯塔下面，我的心情糟透了，好不容易到了台湾的最后一极，却无法留下照片。

65.

灯塔的近景。

66.

灯塔前的海堤上，眺望台湾海峡，前面的岩石就是台湾最西端。海的那边就是福建。

67.

走完台湾四极，我也该回家了。回想在台湾度过的这几个月，感概良多。

68.

在海边，在山间，在喧嚣的黄昏，在静寂的清晨，你总在寻找你自己。过去的日子像朝露一样消散，而未来恰似绚丽的晚霞，依然在你的面前变幻莫测。

（完）

文档信息
发帖者 时间：
订阅： 博文 (Atom)