2012年3月28日星期三

阮一峰的网络日志

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基于用户投票的排名算法（六）：贝叶斯平均

Posted: 28 Mar 2012 04:48 AM PDT

（这个系列实在拖得太久，今天是最后一篇。）

上一篇介绍了"威尔逊区间"，它解决了投票人数过少、导致结果不可信的问题。

举例来说，如果只有2个人投票，"威尔逊区间"的下限值会将赞成票的比例大幅拉低。这样做固然保证了排名的可信性，但也带来了另一个问题：排行榜前列总是那些票数最多的项目，新项目或者冷门的项目，很难有出头机会，排名可能会长期靠后。

以IMDB为例，它是世界最大的电影数据库，观众可以对每部电影投票，最低为1分，最高为10分。

系统根据投票结果，计算出每部电影的平均得分。然后，再根据平均得分，排出最受欢迎的前250名的电影。

这里就有一个问题：热门电影与冷门电影的平均得分，是否真的可比？举例来说，一部好莱坞大片有10000个观众投票，一部小成本的文艺片只有100个观众投票。这两者的投票结果，怎么比较？如果使用"威尔逊区间"，后者的得分将被大幅拉低，这样处理是否公平，能不能反映它们真正的质量？

一个合理的思路是，如果要比较两部电影的好坏，至少应该请同样多的观众观看和评分。既然文艺片的观众人数偏少，那么应该设法为它增加一些观众。

在排名页面的底部，IMDB给出了它的计算方法。

　　

　　- WR， 加权得分（weighted rating）。
　　- R，该电影的用户投票的平均得分（Rating）。
　　- v，该电影的投票人数（votes）。
　　- m，排名前250名的电影的最低投票数（现在为3000）。
　　- C， 所有电影的平均得分（现在为6.9）。

仔细研究这个公式，你会发现，IMDB为每部电影增加了3000张选票，并且这些选票的评分都为6.9。这样做的原因是，假设所有电影都至少有3000张选票，那么就都具备了进入前250名的评选条件；然后假设这3000张选票的评分是所有电影的平均得分（即假设这部电影具有平均水准）；最后，用现有的观众投票进行修正，长期来看，v/(v+m)这部分的权重将越来越大，得分将慢慢接近真实情况。

这样做拉近了不同电影之间投票人数的差异，使得投票人数较少的电影也有可能排名前列。

把这个公式写成更一般的形式：

　　

　　- C，投票人数扩展的规模，是一个自行设定的常数，与整个网站的总体用户人数有关，可以等于每个项目的平均投票数。
　　- n，该项目的现有投票人数。
　　- x，该项目的每张选票的值。
　　- m，总体平均分，即整个网站所有选票的算术平均值。

这种算法被称为"贝叶斯平均"（Bayesian average）。因为某种程度上，它借鉴了"贝叶斯推断"（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票结果，那就先估计一个值，然后不断用新的信息修正，使得它越来越接近正确的值。

在这个公式中，m（总体平均分）是"先验概率"，每一次新的投票都是一个调整因子，使总体平均分不断向该项目的真实投票结果靠近。投票人数越多，该项目的"贝叶斯平均"就越接近算术平均，对排名的影响就越小。

因此，这种方法可以给一些投票人数较少的项目，以相对公平的排名。

=================================================

"贝叶斯平均"也有缺点，主要问题是它假设用户的投票是正态分布。比如，电影A有10个观众评分，5个为五星，5个为一星；电影B也有10个观众评分，都给了三星。这两部电影的平均得分（无论是算术平均，还是贝叶斯平均）都是三星，但是电影A可能比电影B更值得看。

解决这个问题的思路是，假定每个用户的投票都是独立事件，每次投票只有n个选项可以选择，那么这就服从"多项分布"（Multinomial distribution），就可以结合贝叶斯定理，计算该分布的期望值。由于这涉及复杂的统计学知识，这里就不深入了，感兴趣的朋友可以继续阅读William Morgan的How to rank products based on user input。

（完）

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2012年3月20日星期二

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基于用户投票的排名算法（五）：威尔逊区间

Posted: 19 Mar 2012 11:49 AM PDT

迄今为止，这个系列都在讨论，如何给出"某个时段"的排名，比如"过去24小时最热门的文章"。

但是，很多场合需要的是"所有时段"的排名，比如"最受用户好评的产品"。

这时，时间因素就不需要考虑了。这个系列的最后两篇，就研究不考虑时间因素的情况下，如何给出排名。

一种常见的错误算法是：

　　得分 = 赞成票 - 反对票

假定有两个项目，项目A是60张赞成票，40张反对票，项目B是550张赞成票，450张反对票。请问，谁应该排在前面？按照上面的公式，B会排在前面，因为它的得分（550 - 450 = 100）高于A（60 - 40 = 20）。但是实际上，B的好评率只有55%（550 / 1000），而A为60%（60 / 100），所以正确的结果应该是A排在前面。

Urban Dictionary就是这种错误算法的实例。

　　

另一种常见的错误算法是

　　得分 = 赞成票 / 总票数

如果"总票数"很大，这种算法其实是对的。问题出在如果"总票数"很少，这时就会出错。假定A有2张赞成票、0张反对票，B有100张赞成票、1张反对票。这种算法会使得A排在B前面。这显然错误。

Amazon就是这种错误算法的实例。

　　

那么，正确的算法是什么呢？

我们先做如下设定：

　　（1）每个用户的投票都是独立事件。

　　（2）用户只有两个选择，要么投赞成票，要么投反对票。

　　（3）如果投票总人数为n，其中赞成票为k，那么赞成票的比例p就等于k/n。

如果你熟悉统计学，可能已经看出来了，p服从一种统计分布，叫做"两项分布"（binomial distribution）。这很重要，下面马上要用到。

我们的思路是，p越大，就代表这个项目的好评比例越高，越应该排在前面。但是，p的可信性，取决于有多少人投票，如果样本太小，p就不可信。好在我们已经知道，p服从"两项分布"，因此我们可以计算出p的置信区间。所谓"置信区间"，就是说，以某个概率而言，p会落在的那个区间。比如，某个产品的好评率是80%，但是这个值不一定可信。根据统计学，我们只能说，有95%的把握可以断定，好评率在75%到85%之间，即置信区间是[75%, 85%]。

这样一来，排名算法就比较清晰了：

　　第一步，计算每个项目的"好评率"（即赞成票的比例）。

　　第二步，计算每个"好评率"的置信区间（以95%的概率）。

　　第三步，根据置信区间的下限值，进行排名。这个值越大，排名就越高。

这样做的原理是，置信区间的宽窄与样本的数量有关。比如，A有8张赞成票，2张反对票；B有80张赞成票，20张反对票。这两个项目的赞成票比例都是80%，但是B的置信区间（假定[75%, 85%]）会比A（假定[70%, 90%]）窄得多，因此B的置信区间的下限值（75%）会比A（70%）大，所以B应该排在A前面。

置信区间的实质，就是进行可信度的修正，弥补样本量过小的影响。如果样本多，就说明比较可信，不需要很大的修正，所以置信区间会比较窄，下限值会比较大；如果样本少，就说明不一定可信，必须进行较大的修正，所以置信区间会比较宽，下限值会比较小。

二项分布的置信区间有多种计算公式，最常见的是"正态区间"（Normal approximation interval），教科书里几乎都是这种方法。但是，它只适用于样本较多的情况（np > 5 且 n(1 − p) > 5），对于小样本，它的准确性很差。

1927年，美国数学家 Edwin Bidwell Wilson提出了一个修正公式，被称为"威尔逊区间"，很好地解决了小样本的准确性问题。

　　

在上面的公式中，表示样本的"赞成票比例"，n表示样本的大小，表示对应某个置信水平的z统计量，这是一个常数，可以通过查表或统计软件包得到。一般情况下，在95%的置信水平下，z统计量的值为1.96。

威尔逊置信区间的均值为

　　

它的下限值为

　　

可以看到，当n的值足够大时，这个下限值会趋向。如果n非常小（投票人很少），这个下限值会大大小于。实际上，起到了降低"赞成票比例"的作用，使得该项目的得分变小、排名下降。

Reddit的评论排名，目前就使用这个算法。

　　

[参考文献]

　　* How Not To Sort By Average Rating

（完）

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2012年3月16日星期五

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基于用户投票的排名算法（四）：牛顿冷却定律

Posted: 15 Mar 2012 09:31 AM PDT

这个系列的前三篇，介绍了Hacker News，Reddit和Stack Overflow的排名算法。

今天，讨论一个更一般的数学模型。

这个系列的每篇文章，都是可以分开读的。但是，为了保证所有人都在同一页上，我再说一下，到目前为止，我们用不同方法，企图解决的都是同一个问题：根据用户的投票，决定最近一段时间内的"热文排名"。

你可能会觉得，这是一个全新的课题，伴随着互联网而产生，需要全新的方法来解决。但是，实际上不是。我们可以把"热文排名"想象成一个"自然冷却"的过程：

　　（1）任一时刻，网站中所有的文章，都有一个"当前温度"，温度最高的文章就排在第一位。

　　（2）如果一个用户对某篇文章投了赞成票，该文章的温度就上升一度。

　　（3）随着时间流逝，所有文章的温度都逐渐"冷却"。

　　

这样假设的意义，在于我们可以照搬物理学的冷却定律，使用现成的公式，建立"温度"与"时间"之间的函数关系，轻松构建一个"指数式衰减"（Exponential decay）的过程。

伟大的物理学家牛顿，早在17世纪就提出了温度冷却的数学公式，被后人称作"牛顿冷却定律"（Newton's Law of Cooling）。我们就用这个定律构建排名算法。

"牛顿冷却定律"非常简单，用一句话就可以概况：

物体的冷却速度，与其当前温度与室温之间的温差成正比。

写成数学公式就是：

　　

其中，

　　- T(t)是温度（T）的时间（t）函数。微积分知识告诉我们，温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数T'(t)。

　　- H代表室温，T(t)-H就是当前温度与室温之间的温差。由于当前温度高于室温，所以这是一个正值。

　　- 常数α（α>0）表示室温与降温速率之间的比例关系。前面的负号表示降温。不同的物质有不同的α值。

这是一个微分方程，为了计算当前温度，需要求出T(t)的函数表达式。

第一步，改写方程，然后等式两边取积分。

　　

　　


第二步，求出这个积分的解（c为常数项）。

　　

　　

　　

第三步，假定在时刻t0，该物体的温度是T(t0)，简写为T0。代入上面的方程，得到

　　

　　

第四步，将上一步的C代入第二步的方程。

　　

假定室温H为0度，即所有物体最终都会"冷寂"，方程就可以简化为

　　

上面这个方程，就是我们想要的最终结果：

　　本期温度 = 上一期温度 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)

将这个公式用在"排名算法"，就相当于（假定本期没有增加净赞成票）

　　本期得分 = 上一期得分 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)

其中，"冷却系数"是一个你自己决定的值。如果假定一篇新文章的初始分数是100分，24小时之后"冷却"为1分，那么可以计算得到"冷却系数"约等于0.192。如果你想放慢"热文排名"的更新率，"冷却系数"就取一个较小的值，否则就取一个较大的值。

[参考文献]

　　*　Rank Hotness With Newton's Law of Cooling

（完）

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2012年3月11日星期日

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基于用户投票的排名算法（三）：Stack Overflow

Posted: 10 Mar 2012 10:07 PM PST

上一篇文章，我介绍了Reddit的排名算法。

它的特点是，用户可以投赞成票，也可以投反对票。也就是说，除了时间因素以外，只要考虑两个变量就够了。

但是，还有一些特定用途的网站，必须考虑更多的因素。世界排名第一的程序员问答社区Stack Overflow，就是这样一个网站。

你在上面提出各种关于编程的问题，等待别人回答。访问者可以对你的问题进行投票（赞成票或反对票），表示这个问题是不是有价值。

一旦有人回答了你的问题，其他人也可以对这个回答投票（赞成票或反对票）。根据投票结果，系统自动找出最佳回答。

排名算法的作用是，找出某段时间内的热点问题，即哪些问题最被关注、得到了最多的讨论。

在Stack Overflow的页面上，每个问题前面有三个数字，分别表示问题的得分、回答的数目和该问题的浏览次数。以这些变量为基础，就可以设计算法了。

创始人之一的Jeff Atwood，曾经在几年前，公布过排名得分的计算公式。

写成php代码，就是下面这样：

各个算法变量的含义如下：

（1）Qviews（问题的浏览次数）

　　

某个问题的浏览次数越多，就代表越受关注，得分也就越高。这里使用了以10为底的对数，用意是当访问量越来越大，它对得分的影响将不断变小。

（2）Qscore（问题得分）和Qanswers（回答的数量）

　　

首先，Qscore（问题得分）= 赞成票-反对票。如果某个问题越受到好评，排名自然应该越靠前。

Qanswers表示回答的数量，代表有多少人参与这个问题。这个值越大，得分将成倍放大。这里需要注意的是，如果无人回答，Qanswers就等于0，这时Qscore再高也没用，意味着再好的问题，也必须有人回答，否则进不了热点问题排行榜。

（3）Ascores（回答得分）

　　

一般来说，"回答"比"问题"更有意义。这一项的得分越高，就代表回答的质量越高。

但是我感觉，简单加总的设计还不够全面。这里有两个问题。首先，一个正确的回答胜过一百个无用的回答，但是，简单加总会导致，1个得分为100的回答与100个得分为1的回答，总得分相同。其次，由于得分会出现负值，因此那些特别差的回答，会拉低正确回答的得分。

（4）Qage（距离问题发表的时间）和Qupdated（距离最后一个回答的时间）

　　

改写一下，可以看得更清楚：

　　

Qage和Qupdated的单位都是秒。如果一个问题的存在时间越久，或者距离上一次回答的时间越久，Qage和Qupdated的值就相应增大。

也就是说，随着时间流逝，这两个值都会越变越大，导致分母增大，因此总得分会越来越小。

（５）总结

Stack Overflow热点问题的排名，与参与度（Qviews和Qanswers）和质量（Qscore和Ascores）成正比，与时间（Qage和Qupdated）成反比。

（完）

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